A priori, absolument pas, ou du moins pas sous la forme suggérée dans les manuels scolaires.
Après les recherches que j'ai tenté sur le sujet (si je suis dans l'erreur, qu'on veuille bien me détromper),
il semblerait que les écoles de Charlemagne
(préfigurations des écoles publiques obligatoires de la fin du XIXième siècle) soient un mythe.
L'empereur encourageait la culture, soit, mais il n'avait pas les moyens logistiques et financiers
d'organiser une éducation nationale.
Il semblerait donc que les écoles (au sens moderne du terme) où petits pauvres et petits riches
auraient été user ensemble leurs fonds de culotte sur les mêmes bancs soient une plaisante
mais mensongère invention et n'aie pas plus existé dans le palais de l'empereur qu'ailleurs dans l'empire...
...et si ces écoles n'existaient pas, l'empereur n'a pas pu les inspecter.
En revanche, j'ai retrouvé traces d'un ordre de Charlemagne
imposant la création d'une école d'enseignement du latin
(le latin, langue de l'Eglise, est la langue internationale de l'époque en Europe - c'était l'anglais de l'époque)
dans chaque évêché, celle d'Aix étant implantée dans le palais.
Une telle école était bien entendu une école "de haut niveau"
(une sorte d'université avant la lettre) et pas une école de quartier où se rendaient toutes les petits enfants.
Peut être l'anecdote se situe-elle dans une telle école... ce qui donne une portée beaucoup plus réduite à l'histoire :
les élèves "pauvres" ne devaient pas être si pauvres que çà pour pouvoir suivre de telles études.
On est loin de l'éducation pour tous, de la récompense des seules qualités individuelles
et de l'égalité des chances que suggère l'anecdote traditionnelle !